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뜬금 없는 그냥 마~ 팁입니다... ㅋㅋ

Linear System(or linear function, or linear equation)에서 linear라는 말은 무슨 말일까요?

아래의 식을 만족하는 함수든 방정식 또는  시스템은 모두 Linear 하다고 보시면 됩니다.


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예를 한번 들어볼까요?

만약 주어진 함수가 f(x) = 3x 라고 해봅시다. 이 f(x) = 3x 라는 함수는 Linear Function 입니까?

a = 1, x1 = 2, b = 3, x2 = 4 라고 한다면...


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f(x)가 linear 하다면 f(ax1 + bx2) = af(x1) + bf(x2) 가 성립해야하므로


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(초등학교 산수시간이네요~ ^^)

f(ax1+bx2) = af(x1)+bf(x2) 이니까 f(x) = 3x는 Linear Function 이 맞네요~

예를 들어 용수철을 2배의 힘으로 당겼더니 늘어난 길이도 2배가 되더라~

(용수철에 1kg 추를 달았더니 용수철의 늘어난 길이가 10cm, 2kg 추를 달았더니 늘어난 길이가 20cm이더라~)

그러면 그 용수철을 linear하다고 부를 수 있습니다.


그럼 f(x) = x^2 은 Linear 일까요?

역시 위의 방법대로 쭉 따라가보면... (a=1 , x1 = 2, b=3, x2=4)


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f(x) = x^2은 linear 하지 않습니다. 즉 nonlinear 합니다.


그런데 왜 사람들이 Linearity(선형성)을 중요하게 생각할까요? 도대체 왜?!!!

Linear, 리니어, 선형 하고 거품을 무는 가장 중요한 이유는

System이 Linear하다면 Linear Algebra(선형대수)라는 정말 막강한 도구로 문제를 마음대로 마구 요리조리 주무를 수 있기때문 입니다.

그리고 System이 Linear하다면 Superposition이 가능해져 매우 happy해 집니다.

Superposition은 다른게 아니고 문제를 처음 단계에서 간단하고 작은 문제로 쪼게서 각각 계산한 다음 

마지막에 각각의 계산 결과를 다 더해도 결과에는 아무 상관이 없다는 말입니다.

(f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) 를 생각해보세요)

만약 System이 Nonlinear 하면 문제가 아주 골치 아파집니다. -_-;; 문제를 손으로는 거의 못 풀어요


그런데 실제의 세상에서 일어나는 현상들은 거의가 비선형이예요 쿨럭 쿨럭 ..;;

그래서 많은 경우 비선형(nonlinear)를 --> 선형(linear)으로 근사해서 사용하기도 합니다.

비선형 방정식의 곡선이라도 아주 좁은 범위를 확대해서 보면 거의 직선(선형)처럼 보이거든요 ^^


자 그럼 f(x) = x^2을 Linearization(선형화) 한번 해봅시다.

(사마귀 유치원 버젼으로) 여렵지 않아요~ ^^


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예를 들어 f(x) = x^2을 x=1 (y = 1^2 = 1) 근처에서 선형화를 시키고 싶으시면 

접선을 그으면 되겠죠? ^^

점 (x0,y0)를 지나는 직선의 방정식 기억나시나요? (지금 우리의 경우는 (x0,y0) = (1 , 1) 입니다)


(y - y0) = 직선의 기울기 * (x - x0)


직선의 기울기는 접섭의 기울기가 되겠구요

접선의 기울기는 미분한 값이라는 것은 다 아실태고... ^^

dy/dx = 2x 이니까 x = 1에서의 접선의 기울기는 2가 되고 위의 직선의 방정식에 숫자를 대입하면

    (y - 1) = 2(x - 1)

=> y = 2x - 1 이 최종 직선의 방정식이 되겠습니다요



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1부근을 확대해서 보면 1근처에서는 비선형 방정식인 x^2(파란색선)과 선형화한 직선의 방정식 2x-1이 거의 일치하는 것을 볼 수 있습니다.


변수가 2개 이상이면 편미분하면 되고요~

(편미분은 예를 들어 x로 편미분한다면 미분하고자하는 녀석(x)만 변수로 보고 나머지 변수들(y)은 다 상수로 취급하시면 됩니다.)

선형화가 구간으로 주어졌다면 주어진 구간의 정가운데를 중심으로 선형화를 하시면 됩니다.

Ogata 책에 나오는 연습문제를 참조하시면 감이 오실 겁니다~


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x는 2~4의 중앙인 (2+4)/2 = 3을 기준으로,  y는 10~12의 중앙인 (10+12)/2 = 11을 기준으로 선형화 하시면 됩니다.


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이해가시죠? 

(선형화에서 Taylor series는 굳이 몰라도 된다고 생각합니다만 궁금하신 분은 링크를 참조하세요)

명심하셔야 할 것은 nonlinear를 선형화하셨다면 션형화한 값이 

선형화한 기준점 근처의 매우 작은 범위에서만 유효하다는 겁니다.

선형화한 부분에서 너무 멀리 떨어지게 되면 오차가 아주 커집니다.

(위의 그래프에서 선형화를 한 1근처에서는 비슷하게 잘 맞지만 2나 3에서는 맞지 않아요 ;; )


알아두시면 유용한 (많이 쓰이는) Linearization은 sin과 cos에 대한 linearization입니다.


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cos(x)에 대해서도 위와 똑같은 방식으로 계산을 해주시면 cos(x) = 1을 얻으실 수 있습니다.

(x가 0 근처일 때만 위의 두식이 성립하니 주의하세요)


이상 뜬금 없이 그냥 마 Tip 끝 o(^o^)o


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