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반갑습니다. 교주 LGS입니다.
이번 시간부터 본격적으로다가 Modern Control Theory 강의 시작하겠습니다요. ^^
(아래의 그림을 보고 전체 그림에서 우리가 어디에 서있는지 감을 잡으세요)

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이번 시간부터 몇강에 걸쳐 수학적 모델링에 대해서 이야기합니다.
Modeling은 모든 공학, 과학의 출발점입니다.
첫단추인 Modeling이 잘못되면 Modeling 이후 진행되는 분석, 설계가 모두 소용이 없습니다.
그만큼 Modeling은 중요합니다. Modeling과 관련해서 공대에서는 System dynamics라고 한학기 분량의 강좌를 진행합니다.
교주가 한학기 분량의 내용을 액기스를 짜서 설명드리겠습니다 ^^

실제의 물리 세계를 수식으로 표현해보면 대부분 (2차)미분방정식으로 나타나게 됩니다.(미분방정식의 간략한 설명)
그럼 control 하고자 하는 system을 수학적으로 표현하는 미분방정식을 얻는 것 부터 시작해봅시다요.
예를 들어 전기회로에서 저항(Resistor)을 modeling 한다고 해보죠~ (Passive Element에 관한 간략한 설명)
여러분 같으면 저항을 어떻게 모델링 하시겠어요?

저항을 모델링하는데 멕스웰 방정식과 원자와 전자의 충돌로 모델링할 수도 있구요 그냥 간단하게 V = IR로 Ohm의 법칙으로 Modeling 할 수도 있겠죠?
만약 옴의 법칙으로 저항을 모델링해도 해석상 또는 사용하는데에 큰 문제가 없다면(맥스웰 방정식으로 힘들게 푼 값이랑 V = IR로 푼 값의 차이가 0.00001V 밖에 차이가 나지 않는다면?) 그냥 V = IR로 써도 되지 않을까요?~
실제의 세계를 100% 완벽히 모델링 할 수는 없지만 사용하는데 지장이 없을 정도의 정확성을 가진 
간략하게 모델링된 녀석을 Lumped element라고 부릅니다.

즉 복잡하고 비선형적(nonlinear)인 녀석을 매우 간단한 (선형) lumped element로 표한한다 이말이죠. (Linear? Aㅏ linear!)
물체를 Rigid body (변형이 전혀 없는 단단한 놈)로 가정하는 것도 일종의 lumped element로 취급하는 것입니다.
사실 세상에는 완벽한 Rigid Body는 존재하지 않습니다요!! 그래도 그냥 강체(rigid body)로 가정을 하고 로켓을 설계해서 쏘아 올려도 
전혀 문제가 없더라 이겁니다. 문제가 없는데 간단히 Lumped element로 모델링하지 굳이 어렵게시리 system을 Flexible body로 
모델링 할 필요는 없잖아요~
물론 Rigid body라고 가정하고 모델링했을 때 문제가 되는 경우는(휘어지는 인공위성의 태양전지판 이라던가...) 당연히 Flexible Body로 
Modeling 해야하는 거구요~ OK? 이해가셨나요? ^^

자~ 이제부터 세상에 나타나는 다양한 현상을 Lumped element로 표현하는 방법을 알아 보겠습니다.
실제의 Control Theory에서 자주 만나는 문제를 분류해보면 크게 3분류로 나눌 수 있습니다.
역학(Mechanics)과 관련된 문제와 전기전자(Electronics)에 관련된 문제, 그리고 이 둘을 짬뽕 크로스한 Electro mechanics 문제로 분류할 수 있어요.
(Ogata 책에는 Flow control, Heat transfer 부분도 다루고 있습니다.)
이 다양한 모델링 문제도 사실 모델링을 하다보면 매우매우 유사하므로(analogous) 하나만 잘 뚫어 놓으면 나머지도 문제 없습니다요 ^^ 

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오늘은 Mechanics System만 건들여 봅시다.ㅋㅋ
Mechanics System에 등장하는 Lumped Element는 총 3가지 입니다. 이름하야 질량(mass, m), dash-pot(damping, c), 스프링(spring, k) !!
괄호안에 나오는 m,c,k는 각각의 Lumped element를 나타내는 기호입니다. (통상 저항을 R로 쓰듯이 스프링을 보통 k로 쓴다는 말)
그래서 각각의 기호를 모아서 mck system이라고도 합니다.
이제 mck system이라고 그러면 '아 mass, dash-pot, spring으로 구성된 mechanic system이구나' 하고 이해할 수 있으시면 잘 따라오고 계신거예요 ^^


sCV__m9JTHP6u4ffrY7VgUTvSx3z4cz5lQ1j5Wb5Kn-P5Ok7vbUkkAc4oA9iMEvfr7RZQrdWjCM6kEqWUJXp46PN8Iv2R_AJr2oEjgBwEWTN6GxXkj0

우선 Mechanics System 중에서도 Linear Motion 만 보겠습니다. (Linear Motion은 회전이 없다는 말)
질량(mass)는 뉴턴 할배의 제2법칙을 따르는 녀석입습죠. 힘이 질량x가속도에 비례합니다. F = ma = mx''
dash-pot이란 녀석의 특징을 지배하는 방정식은 F = cv 입니다. 껄쭉한 반죽이 들어있는 원통안에 호떡 누를 때 쓰는 끝이 넓적한 막대기를 넣고
휘젓는다고 생각해보세요, 빨리 휘저으려면(속도가 높으면) 힘이 많이 들 것이고 천천히 휘젓는다면(속도가 낮으면) 힘이 적게 들겠죠?
어떤 녀석인지 감이 오시나요? 위의 그림에서 호떡 누르는 막대가 딱 보이네요 ㅋㅋ 
여기서 c는 damping constant라고 부릅니다. 지배방정식을 다시 써보면  F = cv = cx'  v는 속도 입니다.
spring은 많이 보셨죠? ^^ 용수철을 지배하는 방정식은 F = kx 이구요 여기서 k는 spring constant(용수철상수) , x는 거리 입니다.
용수철을 길게 잡아당기려면 힘이 더 들잖아요 그말이예요 
다시한번 말씀드리지만 실제의 세상에서는 완벽하게 거리에 비례해서 힘이 커지는 용수철은 없습니다. 
그냥 Lumped element로 간단하게 모델링해서 쓰겠다는 말입니다요.
아 뭔가 규칙성이 보이시나요? ^^ mass: F = mx''  , dash-pot: F= cx'  ,spring: F = kx 

동역학(Dynamics)를 기술하는 방법은 크게 3지로 나뉩니다.
  • Newtonian   Mechanics    (뉴토니안)
  • Lagrangian  Mechanics     (라그랑지안)
  • Hamiltonian Mechanics     (헤밀토니안)
뉴토니안 역학은 여러분들이 중고등학교 때부터 줄곧 보아오던 F = ma를 이용하는 거구요
라그랑지안 역학은 generalized coordinate 도입해서 운동에너지와 포텐셜에너지의 관계를 이용 Least action 원리를 적용하는 거죠? 다 아시죠? ^^;
(켁 무슨 말인지 모르겠다굽쇼?  Lagrangian Physics는 나중에 따로 다루도록 하겠습니다요 -_-;;;)

이번 강좌에서는 Newtonian 으로 mck system을 Modeling 해봅시다.
Newtonian Physics의 핵심 Keyword는 바로바로바로 Free Body Diagram(자유물체도) 입니다.
Free Body Diagram (줄여서 FBD 라고도 합니다.)을 그려서 뉴턴 할베의 작용반작용, F=ma 식을 적용해서 미분방정식을 세워도 되지만!!!!
(통상 이 방법을 많이 쓰죠~ ㅋ) 그러나 나남이 누구입니까!! 위대한 여러분들의 교주 LGS! FBD를 그리지 않고도 아주 쉽게! 튿리지 않고 정확하게! mechanical system의 운동방정식(미분방정식)을 세우는 방법을 지금부터 가르쳐 드리겠습니다. 하하!!
사실 자유물체도(FBD Free Body Diagram)을 이용해서 system을 미분방정식을 세우다 보면 무지 헷갈립니다.
부호도 헷갈리구요 아 언제  (-)마이너스를 붙여야할지... ㅜㅜ 힘의 방향은 이 방향이 맞는겨?
또 각각의 질량(또는 Degree of freedom의 degree를 높이는 녀석)에 대해 FBD를 모두 하나씩 다 그려야하기 때문에 시간도 많이 걸립습죠.. -_-

자 그 마법과도 같은 방법은 .... (중략)
(자세한 설명은 여기를 참조)

modeling03.png
(이미지 출처: Nise Control System Engineering 6th)

아주 간단한!! 정말 쉬운!! 초딩도 풀수 있는!! mck system 하나더 연습해보고 갑시다요~ ^^

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진짜 FBD 그리지 않고도 그냥 팍! 위의 식이 써지시죠? ^^
조금 숙달 되다 보면 M,C,K 로도 나누지 않고 한방에 식을 쭉~ 쓰실 수 있으실 거예요 o(^o^)o
Matrix form으로 나타내면 좋은 점이 나중에 Transfer function으로 변환하기도 매우 쉽구요 State-space로 나타내기도 훨~씬 수월해 집니다.
(Transfer function, State-space model에 대한 설명은 다다다다음 시간쯤에 나올 것 같아요 ㅋ
참고로 Transfer function으로 바꾸시려면 그냥 (Ms2+Cs+K)X(s) = F(s) 가 끝입니다요)



다음시간에는 Rotation Motion에 대해서 Modeling을 해보겠습니다.
이번 강의를 잘 따라 오셨다면 다음시간은 무지 쉬울 꺼예요~ ^^ 
이상입니다. 이만 총총..

P.S. Lagrangian Mechanics 강좌 Update 했습니다. Link
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